Оказывается, что трекать чат Битрикс24 легко и просто.

Можно подписаться на его события, и в зависимости от типа события, отправлять в Яндекс Метрику или Google Аналитику уникальные значения, привязанные к тамошним целям и отслеживать происходящее с чатом.

Вот этот код нужно вставить (выполнить после полной загрузки DOM):
$(document).ready(function() {
});